Реферат Кривые третьего и четвертого порядка скачать бесплатно
Скачать реферат бесплатно ↓ [200.94 KB]
Текст реферата Кривые третьего и четвертого порядка
Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова Кафедра
высшей математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему: «Кривые третьего и
четвертого порядка» Выполнили: студенты группы С-12-00 Пинаев И.Н.
Искаков Р.Р. Проверила: доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук
Самарина С.М. Чебоксары, 2002
Декартов лист 1.
Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка,
уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид
(1) Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова
листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому
равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и
у, в результате будем иметь:
откуда
следует, что декартов лист является рациональной кривой. Заметим еще,
что полярное уравнение декартова листа имеет вид
(3) Координаты х и у входят в уравнение
декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична
относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки
приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой
декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее
особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как
известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения
этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у
= 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные
совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат
кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в
первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с
прямой у = х в точке Точки этой петли, в которых касательные
параллельны координатным осям, имеют координаты и (cм. рис.
1) Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти
асимптоту приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух
членов с высшими степенями х. Получим b = - а. Таким образом,
декартов лист имеет асимптоту у = — х — а; следовательно, во 2-м и
4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.
Рис. 1 2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках
алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой,
провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой
будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу
эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно
условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих
значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой. Если уравнение
прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам
пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе
Система эта приводит к уравнению корни которого и будут искомыми
значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что (4) Это
равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1
