Методы обучения математике в 10 -11 класах

ЗМІСТ

Вступ

Одним з центральних місць в дидактиці (загальній теорії навчання) і в методиці викладання математики (конкретній теорії навчання, де враховується специфіка математики як навчального предмету) займа­ють методи навчання. Володіння цими методами необхідне для органі­зації ефективного навчання школярів.

Як навчальний предмет «математика» має особливі риси, які притаманні тільки їй. Головною з них є високий ступінь узагальненості понять, що вивчаються. Ця риса виявляється буквально відразу, при першому ж знайомстві з математикою на уроках. Ось тому в процесі навчання необхідно використовувати різні методи, які відобража­ють цю особливість, і при формуванні математичних понять, і при зна­йомстві з задачами, що виникають при використанні цих понять в практичній і навчальній діяльності. Істотно відмітити, що зазначені методи сприяють розвитку мислення школярів, підвищують їх загаль­ну культуру, викликають інтерес до математики, а не відлякують учнів.

Мета даної роботи – з’ясувати суть основних методів навчання математики, а саме: пояснювально-ілюстративного методу, репродуктивного, проблемного викладу, частково-пошукового методу, дослідницького, методу доцільних задач, абстрактно-дедуктивного та конкретно-індуктивного, програмованого навчання. Продемонструвати їх використання при поясненні та закріпленні нового матеріалу на уроках алгебри в 10-11 класах.

В першому розділі розглядається теоретичний матеріал: основні методи навчання, їх класифікація та розкривається зміст кожного методу.

В другому розділі наводиться практичне застосування методів навчання. Пояснюється використання кожного з методів на прикладі розглядуваних фрагментів уроків по темах змістових ліній курсу “Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

Завданнями даної роботи є: висвітлити існуючі та найбільш поширені методи навчання математиці; показати майбутнім вчителям підходи щодо покращення викладання математики в 10-11 класах, використовуючи методи навчання математики описані в даній роботі, як окремо так і в сукупності за допомогою розглянутих фрагментів уроків.

РОЗДІЛ І

Методи навчання математики, їх суть та можливості використання в навчальному процесі, зокрема при поясненні нового матеріалу

§1. ПРОБЛЕМА МЕТОДІВ НАВЧАННЯ. ІСНУЮЧІ МЕТОДИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Проблема методів навчання формулюється коротко за допомогою питання, як учити?

Для розв'язання питання про те, як учити чому-небудь учнів, треба, по-перше, з'ясувати, для чого потрібно це вивчати, які знання, вміння і навички слід набути учням внаслідок цього вивчення; по-друге, треба провести логіко-дидактичний аналіз того, що вивчається, тобто виявити структуру та інші особливості змісту навчання, його виклад у шкільному підручнику; по-третє, треба знайти об'єкт навчання, тобто рівень розумової діяльності учнів, які вони мають знання, уміння і навички, на які можна спиратися в навчанні їх даному змісту 5.

Тільки при наявності достатньої інформації з питань, для чого? чому? і кого?, ми можемо успішно розв'язати і питання, як?, тобто питання про вибір методів навчання, які найкраще відпові­дають цілям, змісту навчання і рівню розумової діяльності і знань учнів.

Постановка проблеми відображення методів науки в навчанні ціл­ком виправдана. По-перше, цілі навчання включають засвоєння не лише визначеної сукупності наукових фактів, а й методів добування цих фактів, які використовуються в самій науці. По-друге, методи наукових досліджень — це методи добування нових знань в навчаль­ній (пізнавальній) діяльності. Тому цілком природно, щоб методи на­вчання відображали методи пізнання.

Система методів навчання математики складається із загальних методів, розроблених дидактикою, адаптованих до навчан­ня математики, та із спеціальних (часткових) методів навчання мате­матики, що відображають основні методи пізнання, які використову­ються в математиці.

Одно із завдань, поставлених перед народною освітою, полягає в тому, щоб привести самі методи навчання у відповідність з вимогою життя.

Далі розглянемо деякі основні методи навчання, що найчастіше використовуються при поясненні та закріпленні нового матеріалу.

Слово “Метод” грецького походження і в перекладі означає шлях дослідження, спосіб пізнання 7.

Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної роботи вчителя і організації навчально-пізнавальної діяльності учнів з розв’язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається.

У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно від вибору основи класифікації, а саме: за джерелом здобування знань (словесні, наочні, практичні), за способами організації навчальної діяльності учнів (методи здобування нових знань, методи формування умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи перевірки й оцінювання знань, умінь та навичок), за характером навчально пізнавальної діяльності учнів (І.Я.Лернер і М.М.Скаткін): а) пояснювально-ілюстративний (розповідь, лекція, пояснення, робота з підручником, демонстрації та інше); б) репродуктивний (відтворення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою); в) проблемний виклад; г) частково-пошуковий або евристична бесіда; д) дослідницький метод.

До самостійної роботи учнів відносять програмоване навчання.

Нові знання з математики сприймаються і застосовуються учнями з певними труднощами. Тому іноді потрібно організувати самостійну роботу учнів з математичним текстом або науковою літературою.

Методи навчання математики 7 за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів:

1. Пояснювально-ілюстративний

2. Репродуктивний метод

3. Проблемний виклад

4. Частково-пошуковий метод (евристична бесіда)

5. Дослідницький метод

6. Метод доцільних задач

7. Аналіз і синтез

8. Порівняння і аналогія

9. Абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний

10. Програмоване навчання.

§2. СУТЬ ТА МОЖЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ У НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ

§2.1 ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Цим методом послуговуються, вводячи математичні поняття 7, вивчаючи аксіоми, теореми і способи розв'язування різних класів задач. Наприклад, під час вивчення поняття функції вчитель наводить приклади залежності між змінними ве­личинами і об'єктами іншої природи, що задані за допомогою формули, графіка, таблиці, і формулює означення функції як за­лежності між змінними, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. Вводяться поняття аргумент, область визначення, область значень функції; розв'язуються вправи на відшукання значень функції за даним значенням аргументу.

Цим методом користуються даючи лекційний урок, на якому пояснюють певну тему з відповідним ілюструванням на дошці, плакатах, таблицях; при роботі на уроці з підручником.

§2.2 РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Використовується для закріплення на уроці нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтворюють розв'язання задач, формулювання і доведення теорем, означення математичних понять, правила тощо). На уроках, де формуються уміння і навички розв'язування прикладів, задач, застосування репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час розв'язування вправ і задач за зразком, який дано вчителем або наведено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом. При цьому діяльність за зразком має проводитись не за вказівкою «роби те, що роблю я», а за порадою «роби так, як роблю я».

Недоліком двох названих методів є те, що вони мало сприя­ють розвитку продуктивного мислення, пізнавальній активності й самостійності учнів. Разом з тим недооцінка репродуктивної діяльності учнів призводить до того, що в учнів не забезпечується фонд дійових знань, який є необхідною умовою для можливостей організації самостійної пізнавальної діяльності, розвитку творчо­го мислення і продуктивної діяльності 7.

Наступні три методи проблемного навчання спрямовані на усунення зазначених вище недоліків.

§2. 3 ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

Проблемний виклад як метод навчання математики полягає в тому, що, пояснюючи навчальний матеріал, учитель сам висуває проблеми і, звичайно, як правило, сам їх розв'язує. Однак постановка проблем посилює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того, що пояснює вчитель. Наприклад, доводячи теорему , вчи­тель висуває проблеми на кожному етапі доведення і сам проводить потрібні обґрунтування 7.

Під проблемним навчанням звичайно розуміють навчання, яке проходить у вигляді розв'язування послідовно створюваних в навчаль­них цілях проблемних ситуацій.

Що ж таке проблемна ситуація? З психологічної точки зору проб­лемна ситуація являє собою більш чи менш явно осмислене утруднен­ня, породжуване невідповідністю, неузгодженістю між тими знаннями, що і є тими, які потрібні для розв'язування задачі, яка виникла або запропонована.

Задача, яка створює проблемну ситуацію - називається проблем­ною задачею, або просто проблемою.

Сказане відноситься і до науки, і до навчання, яке названо проб­лемним та імітуючим, в якійсь мірі, процес розвитку наукових знань шляхом розв'язування проблемних ситуацій. Часто задача, яка є проблемною при вивченні шкільного курсу математики (навчальною проблемою), колись виникла як наукова проблема 5.

Психологічною основою проблемного навчання, звичайно, нази­вають сформульовану С. Л. Рубінштейном тезу: «Мислення почина­ється з проблемної ситуації». Усвідомлення характеру утруднення, недостатності запасу знань розкриває шляхи його подолання, яке полягає в пошуку нових знань, нових способів дій, а пошук — ком­понент процесу творчого мислення. Без такого усвідомлення не вини­кає потреби в пошуку, а значить, немає і творчого мислення.

Таким чином, не кожне утруднення викликає проблемну ситуацію. Воно повинно породжуватися недостатністю знань, і ця недостатність повинна бути усвідомлена учнями.

Однак і не кожна проблемна ситуація породжує процес мислення. Воно не виникає, зокрема, коли пошук способів розв'язування про­блемної ситуації не під силу для учнів на даному етапі навчання в зв'язку з їх непідготовленістю до необхідної діяльності.

Це особливо треба враховувати, щоб не включати в навчальний процес непосильні задачі, які сприяють не розвитку самостійного мис­лення, а відверненню від нього і послабленню віри в свої сили.

В зв'язку з проблемним навчанням вживають два терміни: «проб­лема» і «проблемна задача». Інколи їх розуміють як синоніми, частіше ж як об'єкти, позначувані цими термінами, відрізняють за обсягом. Проблема розпадається на послідовність або розгалужену сукуп­ність проблемних задач. Таким чином, проблемну задачу можна роз­глядати як найпростіший, окремий випадок проблеми, що складається з однієї задачі.

До методів проблемного навчання відносяться такі: дослідний, евристичний і метод проблемного викладу.

Центральне місце в проблемному навчанні займає дослідний ме­тод. Дослідний метод у навчанні, однак, тільки в якійсь мірі імітує процес наукового дослідження. Навчальне дослідження відрізняється від наукового деякими істотними особливостями.

По-перше, як уже згадувалося вище, навчальна проблема, тобто те, що досліджується в процесі проблемного навчання, і та істина, яку відкривають учні, для науки не е новими. Але вони нові для учнів, а відкриваючи для себе те, що в науці давно відкрито, учні на цьому етапі своєї навчаль­ної діяльності міркують як першовідкривачі. Тому застосування до­слідного методу в навчанні відносять до дидактики “пере відкриття”.

По-друге, стимули учнів до проведення дослідження відрізняються і від стимулів, які спонукають вченого на дослідження. Навчальне дослідження проводиться учнями під керівництвом, при особистій участі і за допомогою вчителя. Ця допомога повинна бути такою, щоб учні вважали, що вони самостійно досягли мети.

По-третє, як і кожний інший метод навчання, дослідний не є уні­версальним. У молодших і середніх класах школи в діяльність учнів можна включати тільки окремі елементи досліджень. Це є підготовкою для застосування в старших класах дослідного методу в більш роз­виненій і складній формі. Але й на цьому етапі навчання цей метод можна застосовувати лише для вивчення окремих тем.

§2. 4 ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Частково-пошуковий метод (інколи називають евристичною бесідою), суть його полягає в тому, що вчитель заздалегідь готує систему запитань, відповідаючи на які учні самостійно формулюють означення поняття, «відкривають» доведення теореми, знаходять спосіб розв'язування задачі.

Цей метод дещо схожий на дослідницький метод через те, що учні повинні самостійно зробити відкриття, дати означення, обґрунтувати твердження, тощо 7.

§2. 5 ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальної задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проб­лему сформулював сам учень або її формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно.

У 9 класі, для прикладу, після вивчення формул для обчислення площ прямо­кутника, паралелограма, трикутника перед учнями ставиться про­блема - знайти формулу для обчислення площі трапеції, спираю­чись на вже вивчені формули обчислення площ фігур. Одні учні можуть провести діагональ трапеції і звести обчислення її площі до знаходження суми площ двох трикутників, на які вона розі­б'ється, інші - можуть добудувати трапецію до паралелограма, треті - побудувати трикутник, площа якого дорівнює площі тра­пеції, або скористатися іншими можливими способами. Так само і при знаходженні площі криволінійної трапеції, коли фігура обмежена декількома лініями, що виражаються різними функціями. Колек­тивне обговорення наприкінці уроку знайдених способів відшукання формули площі фігури максимально активізує увагу і тих учнів, які самі не змогли знайти потрібну формулу.

Дослідження — емпіричний метод, який ви­користовується, зокрема, в експериментальних природничих науках. Математика не являє собою експериментальну науку, тому стверджен­ня дослідом не може бути достатньою основою істинності її положень.

Дослід треба спрямовувати на ство­рення в навчальному процесі спеціальних ситуацій і забезпечення учням можливості дістати з них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї доведення. Найчастіше результати досліду є посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому до­слід відносять до евристичних методів навчання, тоб­то до методів, що сприяють відкриттям 7.

Слід відмітити, що за допомогою емпіричних методів виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Математичний ма­теріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних тверд­жень), який при цьому одержуємо, підлягає наступній обробці вже ін­шими методами.

§2. 6 МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

Одним із перших методів свідомого навчання математики був метод доцільних задач, опрацьований в кінці ХІХ ст. відомим методистом С.І.Шохор-Троцьким. Пропонувалось у центрі навчання будь-якого розділу шкільної математики поставити задачу: “Із задач при методі доцільних задач починається урок, задача стає вихідним пунктом, коли доводиться звертатися до нового арифметичного уявлення, чи то уявлення про суть множення одноцифрового числа на одноцифрове, чи то домовленість про зміст множення на дріб...”. Мались на увазі насамперед прості задачі, які дозволяли виробляти потрібні уявлення і збуджувати розумову діяльність учнів 7.

Спочатку метод доцільних задач застосовували тільки при навчанні арифметики, потім і в геометрії. Книга Шохор-Троцького “Геометрія в задачах” 1909 року має багато цікавого матеріалу і для сучасного вчителя математики. В передмові до неї написано: “Учні в цьому курсі займаються переважно розв’язуванням задач. Теореми вони доводять тільки ті, які не є очевидними і не потребують надто тонких міркувань. До доведення очевидних теорем учні можуть звертатись тільки у випадку їх особливого інтересу до самого процесу доведення. Але це залежить і від складу класу, і від такту вчителя”. Автор пропонував ставити учня у такі умови, “при яких він міг би бути не лише свідком, а й, по можливості, активним учасником цього винаходу”, радив “не викладати математику, а навчати її всіма доступними вчителю і доцільними для учнів способами”

Практика засвідчила, що значення методу доцільних задач не можна перебільшувати і додержуватися його формально. По-перше, вивчення не кожної теми доцільно починати з розв'язування задач, по-друге, не можна недооцінювати роль теоретичних знань.

В наш час математики-методисти знову звертають увагу вчителів до методу доцільних задач і називають його тепер частіше “Навчання через задачі”.

§2. 7 АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

У навчанні математики неабиякого поширення набули абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний методи навчання. Вперше докладно проаналізував ці методи в методиці навчання математики К. Ф. Лебединцев. Суть абстрактно-дедуктивного метода навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об'єктів, що належать до понять. Формулю­ється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу 5.

Узагальнення і абстрагування — два логічних способи, які за­стосовуються майже завжди разом в процесі пізнання.

Узагальнення — це мислене виділення, фіксування яких-небудь загальних істотних властивостей, які належать певному класу предметів або відношень.

Абстрагування — це мислене відхилення, відокремлення загальних, істотних властивостей, виділених внаслідок узагальнення, від інших неістотних або незагальних властивостей пред­метів або відношень, які розглядаються, і відкидання неістотних.

Іс­тотні з математичної точки зору, тобто один і той самий предмет може ви­вчатися, наприклад, і в фізиці, і в математиці. Для фізики істотними в одні його властивості (твердість, теплопровідність, електропровідність та інші фізичні властивості), для математики ці властивості не­істотні, вона вивчає тільки форму, розміри, розміщення предмета.

Узагальнення і абстрагування незмінно застосовуються в процесі формування понять, при переході від уявлень до понять і разом з ін­дукцією як евристичний метод. Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.

Під конкретизацією розуміють зворотний перехід — від більш загального до менш загального, від загального до одиничного.

Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація — при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.

Уточнимо перехід від одиничного до загального, від менш загаль­ного до більш загального і зворотний перехід.

Вивчення окремих предметів а, b, с, ... приводить нас до висновку про наявність у них спільної властивості або загальних властивостей, які ми можемо об'єднати в одну — кон'юнкцію цих властивостей S(b), тобто S(а), S(b), S(с), ..., S(х) означає: « x має властивість S ».

Від­хиленням цих властивостей S від інших властивостей предметів (тобто абстрагуванням), що розглядаються, ми формуємо клас предметів, який характеризується властивістю S:

А= { х | S(х) }.

Таким чином ми здійснюємо перехід від одиничного (від окремих предметів) до загального (класу предметів). Подальше вивчення приво­дить до включення класу А в більш широкий клас В; А В. Це і є перехід до більш загального.

У математиці узагальнення і абстрагування часто поєднані з за­міною сталих змінними (в переході від запису окремих фактів до за­пису загальних закономірностей), а конкретизація - з підстановкою замість змінних їх значень (в зворотному переході).

Індукція - перехід від частинного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і експерименту, до узагаль­нень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою та­кого переходу є індукція, що являє собою метод міркувань від частин­ного до загального, виведення висновку з частинних посилок (від лат. inductio — наведення).

Використання цього методу міркувань, для того щоб одержати нові знання в навчальному процесі, називають індуктивним методом нав­чання. Нехай А = {а1, а2 , ...} - множина всіх можливих частинних випадків, в кожному з яких деяка властивість С може бути або не бути (має або не має місця). Припустимо, що в k випадках має місце властивість С, тобто є посилки С(a1), С(а2), ..., С(ак).

Індуктивні міркування будуються ва схемою:

(*)

(в схемі над рискою записано перелік посилок, під рискою — висно­вок). У випадку, коли А — скінчена множина, що складається з k елементів (всіх можливих частинних випадків - k), тобто наші посилки вичерпують всі можливі частинні випадки, схема (*) являє собою пра­вило виведення, засноване на формулі ,

і висновок достовірний (істинний, якщо істинні посилки). У цьому випадку міркування, побудоване за схемою (*), називається повною індукцією.

Якщо ж множина А всіх можливих частинних випадків має більше k елементів або ж нескінченість, що особливо часто зустрічається в ма­тематиці, тобто коли наші посилки не вичерпують всі можливі частин­ні випадки, то висновок за схемою (*) не є достовірно істинним вислов­ленням, а тільки ймовірно істинний (правдоподібний) при істинності посилок. Таке міркування, побудоване за схемою (*), називається неповною індукцією.

В математиці широко використовується ще один вид індукції — повна математична (або математична) індукція.

Математична індук­ція — спеціальний метод доведення тверджень, які виражають деяку властивість, притаманну всім натуральним числам. Цей метод хоч і називається індуктивним, за своєю структурою яв­ляє собою дедуктивне міркування, що спирається на аксіому матема­тичної індукції:

Р(1)   х (Р (х))  Р (х +1))   nР (n),

тобто якщо 1 має деяку властивість Р і якщо для кожного натураль­ного числа х маємо, “якщо воно має цю властивість, то його має і безпосередньо наступне за ним число х + 1” , то кожне натуральне число n має властивість Р*.

Звичайно, коли говорять «індуктивні методи навчання», то мають на увазі застосування неповної індукції в навчанні. А коли говоримо “індукція” - слід мати на увазі неповну індукцію.

Через недостовірність висновку індукція не може бути методом доведення. Але вона являє собою ефективний евристичний метод, тобто метод відкриття нових істин. В такій якості індукцію слід ши­роко застосовувати в шкільному навчанні в рамках методів, орієнто­ваних на навчання учнів діяльності, спрямованої на засвоєння нових знань.

В історії математики були випадки, коли видатні математики по­милялися в своїх індуктивних висновках. Наприклад, П.Ферма при­пустив, що всі числа виду + 1 прості, виходячи з того, що при n = 1, 2, 3, 4 вони є такими, але Л. Ейлер знайшов, що вже при n = 5 число + 1 не е простим (воно ділиться на 641).

Однак можливість одержати за допомогою індукції хибне вислов­лення не є підставою для заперечення ролі індукції в шкільному навчанні математики. Тому, застосовуючи індукцію, необхідно підкреслювати, що висновок є лише припущенням, що може бути доведено, коли воно істинне, або відкинуте, коли воно хибне.

Дедукція (від лат. deductio — виведення) в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нове твердження, а точніше, висловлена в ньому думка виводиться суто логічним спосо­бом, тобто за певними правилами логічного виведення (слідування) з деяких відомих тверджень (думок).

Вперше теорія дедукції (логічного виведення) була розроблена Аристотелем. Ця теорія розвивалась, удосконалювалась з розвитком нау­ки логіки. Особливий розвиток з урахуванням потреб математики вона одержала у вигляді теорії доведення в математичній логіці.

Дедуктивне міркування (умовивід) відрізняється від індуктивного, або міркування за аналогією достовірністю висновку, тобто в дедук­тивному міркуванні висновок істинний, коли істинні всі посилки. На відмінність від індукції (неповної) і аналогії в дедук­тивному міркуванні не можна одержати хибний висновок із істинних посилок. Саме тому дедуктивні міркування використовуються в мате­матичних доведеннях (доведеннях математичних тверджень). Широке застосування дедукції в математиці зумовлено аксіоматичним методом побудови математичних теорій.

Аксіоматичний метод, по суті, являє собою своєрідний метод вста­новлення істинності тверджень. Це вихідні твердження, або аксіоми теорії. Істинність останніх тверджень, теорем цієї теорії, встановлюється за допомогою дедуктивних доведень, тобто всі останні твердження теорії логічно виводяться (дедукуються) з попередніх тверджень: аксіом, означень і раніше доведених теорем. Ось чому математику і називають «дедуктивною» наукою — в ній все виводиться, «дедукується» з деяких первинних (вихідних) фактів, які висловлені в аксіомах.

У практиці навчання вчитель, як правило, сам доводить у класі кожну теорему, а то й двічі або навіть тричі повторює її. Такий метод орієнтовано головним чином на запам'ятовування учнями доведень певних теорем, і навряд чи можна таким методом навчити учнів дово­дити. Поєднуючи ці методи з методами навчання пошуку доведення, ми навчимо їх доводити. Сам же пошук доведення, як і будь-який пошук, вимагає творчого мислення і розвиває його. Тому метод на­вчання пошуку доведення підвищує ефективність інтелектуального розвитку учнів, розвитку їх творчого мислення.

§2. 8 ПРОГРАМОВАНЄ НАВЧАННЯ

Поряд з усним викладом теоретичних знань, поясненням учителем способів розв’язування різних типів задач та колективним їх розв’язуванням значне місце в процесі навчання математики посідає самостійна робота учнів. До самостійної роботи відносяться не лише самостійне вивчення матеріалу, доведення теорем та розв’язування, а й робота з друкованою основою, програмоване навчання за допомогою посібників або персональних комп’ютерів, де потрібно обирати вірну відповідь з наведених 7.

У 50—60-х роках з’явилось і одержало широку популярність “програмоване навчання”, яке потім підлягало критиці. За великим і широко рекламованим піднесенням наступив деякий спад, і до цього часу навколо програмованого навчання ведуться дискусії, в про­цесі яких висловлюються істотно різні, часом прямо протилежні точки зору 5.

Нагадаємо, що розуміють під програмованим навчанням і розгля­немо деякі особливості цього виду навчання. Термін «програмоване навчання» запозичений з термінології програмування для ЕОМ, очевидно, тому, що так само, як і в програмах для ЕОМ, розв'язання задачі подається у вигляді строгої послідовності елементарних операцій, у «навчальних програмах» матеріал, що вивчається, подається в фор­мі строгої послідовності кадрів, кожний з яких має, як правило, пор­цію нового матеріалу і контрольне питання або завдання.

Програмоване навчання не відкидає принципів класичної дидак­тики. Навпаки, воно виникло внаслідок шукання способів, форм і ме­тодів удосконалення процесу навчання шляхом кращої реалізації цих принципів.

Програмоване навчання здійснюється за допомогою «навчальної програми», яка відрізняється від звичайного підручника тим, що вона визначає не тільки зміст, а й процес навчання 7.

Існують дві системи програмування навчального матеріалу — лі­нійна і «розгалужена» програми, які відрізняються між собою важли­вими вихідними передумовами і структурою. Можливі і комбіновані програми, які являють собою поєднання цих двох методів програмованого навчання.

За лінійною програмою навчальний матеріал полається невеликими порціями, кадрами, до яких входить, як правило, просте питання з цього матеріалу. Передбачається, що учень, уважно прочитавши цей матеріал, зможе дати безпомилкову відповідь на поставлене питання. При переході до наступного кадру учень перш за все взнає, чи правиль­но він відповів на питання попереднього кадру. Оскільки кожний кадр має досить невелику інформацію з нового матеріалу, то навіть простим порівнянням своєї неправильної відповіді, якщо все таки він помилився, з правильною учень швидко встановлює, де саме ним була допущена помилка.

За розгалуженою програмою навчальний матеріал розбивається на порції, які несуть більшу інформацію, ніж при лінійному про­грамуванні. В кінці кожного кадру учневі пропонують питання, від­повідь на яке він сам не формулює, а вибирає з наведених у цьому ж кадрі декількох варіантів відповідей, з яких тільки одна правильна (метод альтернативи). Неправильні відповіді вибираються авторами програми, зрозуміло, не випадково, а з урахуванням найбільш імовір­них помилок учнів. Учень, який вибрав правильну відповідь, відсила­ється до сторінки, на якій викладена наступна порція нового матеріа­лу. Учень, що вибрав неправильну відповідь, відсилається до сторін­ки, на якій роз'яснюється допущена помилка і пропонується повер­нутися до останнього кадру, щоб, уважно прочитавши ще раз викладе­ний в ньому матеріал, вибрати правильну відповідь або ж в залежності від допущеної помилки відкрити сторінку, на якій подано додаткове пояснення незрозумілого.

Порівнюючи дві системи програмування навчального матеріалу, можна помітити, що при лінійному програмуванні учень самостійно формулює відповіді на контрольні питання, при розгалуженому він вибирає лише одну з декількох готових, уже сформульованих відповідей.

Розгалужена програма складається з урахуванням можливих помилкових відповідей учнів і з цієї точки зору вона ближче до реального процесу навчання. За розгалуженою програмою важливо те, що різних учнів вона супроводжує до засвоєння нового матеріалу різними шляхами з урахуванням їх можливостей і потреб в додаткових поясненнях і вказівках. Один учень просувається прямо від однієї порції нового матеріалу до наступної, другий — користу­ється додатковими поясненнями, роз'ясненнями його помилкових від­повідей, які свідчать про нерозуміння навчального матеріалу. Внаслі­док чого і виходить, що різні учні просуваються в засвоєнні навчального матеріалу з різними індивідуальними швидкостями.