Рефераты по теме Математика

Реферат Шпаргалки по ВЫШКЕ скачать бесплатно

Скачать реферат бесплатно ↓ [625 B]

Текст реферата Шпаргалки по ВЫШКЕ

1
Основы фифференциального исчисления . Понятие производной.

DX=X1-X – приращение аргумента.
Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции. Пример:
Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.
Геометрический смысл производной.

Ку.к. – угловой коэф. касательной.
Ксек – угловой коэф. секущей.
Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:
Физический смысл производной.
S(t) – путь за данное время.

DS(t) – приращение пути.
DS(t)/ Dt –средняя скорость на участке.
мгновен. скорость на участке:
произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)
Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную.
Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство:













2
Правила дифференцирования
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции.
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Доказательство:

Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b].
g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого " X Î[a,b]
f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)]
y=sin x [-p/2, p/2], тогда
x=arcsin y, yÎ[1,1]
sin arcsin y = y;
arcsin * sin x=x
Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:












3
Таблица производных:
Доказательство:



Дифференциал функции.
Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f(x) наз. f’(x)Dx=u обозначают df(x).


Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
df(x)=f’(x)dx
Доказательство:
1).

2).











4
Производная высших порядков.
Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.

Пример:

Используя метод математической индукции несложно показать, что:
1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:

2).
3).
4).
5).
6).
Дифференцирование функций заданных параметрически.

Пример 1:
возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3
Пример 2: