Статистика (шпаргалка 2002г.)

Формат: doc

Дата создания: 10.01.2002

Размер: 61.1 KB

7вопрос Относительные величины

Статистика широко применяет относительные величины, потребность в которых возникает на стадии обобщения. Они помогают установить закономерности, в них заключен «молчаливый вывод»; являются самостоятельными статистическими показателями и имеют самостоятельную широкую сферу применения, например, уровень рождаемости, естественного прироста населения, рентабельность и т.д.

Относительная величина – это статический показатель, полученный путем сопоставления двух других величин (абсолютных, средних и других относительных).

При пользовании относительными величинами следует применять достаточное для целей исследования число значащих цифр. Поэтому существуют различные способы выражения относительных величин. Если сравниваемая величина больше базы y1 > y0, то удобно пользоваться коэффициентом К = у1/у0. Если между уровнями у1 и у0 различия абсолютных величин невелики, то удобно применять децили и проценты: Δ = 10 (у1/у0); Т = 100 (у1/у0). Если уровень у1 значительно меньше базы, то удобно применять промилле и продецимилле: П = 1000 (у1/у0); П´ = 10000 (у1/у0).

Например, рост цен может быть измерен и коэффициентом, и процентом (рост в 2,1 раза или 103,15%), рождаемость и естественный прирост определяют на 1000 чел. населения и т.д.

2.2. Виды относительных величин

В зависимости от характера сравниваемых абсолютных величин можно выделить два типа относительных величин. Если сравниваются две абсолютные величины, имеющие одинаковые единицы измерения, то относительная величина показывает «отношение» и является безразмерной. Если сравниваются две абсолютные величины, у которых единицы измерения не совпадают, то относительные величины имеют размерность.

Относительная величина структуры определяется как отношение числа единиц f или значения признака у изучаемой части к общему числу Σf: W = f / Σf;

Относительная величина координации показывает отношение численности единиц одной части совокупности к численности единиц другой.

Изменение уровня изучается во времени относительной величиной динамики. Например, уровень показателя 1999 г. (у1) сравнивается с уровнем того же показателя по тому же объекту 1990 г. (у0): К1 = у1/у0.

Прогнозируемый уровень сравнивается с существующим – относительная величина прогноза: Кпр = упр/у0.

Изменение уровня изучается по сравнению с предварительным прогнозом (нормой, планом) – относительная величина выполнения прогноза: Кв. пр. = у1/упр.

Относительная величина интенсивности представляет собой сравнение двух разных статических показателей, которые имеют размерность. К таким показателям относится плотность населения, автомобильных дорог и т.д.

Относительными величинами также являются индексы: биржевые, социальные, сезонности и т.д.

iр = р1/р0; iq = q1/q0; iz = z1/z0 и т.д.

Тема 3. Средние величины и показатели вариации

3.1. Сущность и значение средних величин

Средняя величина отражает типичные размеры признака, характеризует качественные особенности явлений в количественном выражении.

Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для всех единиц качественно однородной совокупности.

К. Маркс отметил: «Средняя величина – всегда средняя многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

Понятие степенной средней, формула расчета, виды средних величин и область их применения, правило мажорантности средних

Степенная средняя – это такая величина, которая рассчитана по индивидуальным значениям признака, возведенным в степень К, и приведена к линейным размерам:

В зависимости от показателя степени К средняя может быть гармонической (К = -1), арифметической (К = 1), геометрической (К = 0), квадратической (К = 2), кубической (К = 3), биквадратической (К = 4). Каждая средняя обладает определенными свойствами и имеет свою сферу применения.

Е сли К = 1, то средняя является арифметической:

где n - число наблюдений.

Массовые по численности совокупности обобщаются в виде ряда распределения. Характер распределения, частота повторения каждого признака оказывает влияние на среднюю, которая называется средней взвешенной:

где f - частота повторения признака (статический вес).

Если К = -1, средняя является гармонической. Это величина, обратная простой средней арифметической:

Средняя гармоническая взвешенная определяется:

где ΣW - суммарное значение признака.

Если К = 0, то средняя является геометрической. Эта величина, полученная как корень m-й степени из произведения значений признака:

Взвешенная -

Если К = 2, то средняя является квадратичной:

Простая -

Взвешенная -

и т.д.

Если для одного и того же первичного ряда вычислить различные степенные средние, то чем больше показатель степени К, тем больше абсолютное значение средней:

Правило называется мажорантности степенных средних.

3.3. Свойства средней арифметической

Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.

Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число.
Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же величине.
Средние суммы или разности равны сумме или разности средней:

Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя уменьшается на это значение.
Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d раз.
Сумма отклонений значения признака равна 0.
Сумма квадратов отклонений

3.4. Расчет моды и медианы

Модой (М0) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному варианту так называемого модального интервала.

где хМ0 - нижняя граница модального интервала;

iM0 - величина модального интервала;

fM0 - частота, соответствующего модального интервала;

fM0-1 - частота, предшествующая модальному интервалу;

fM0+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

где хме - нижняя граница медианного интервала;

ime - величина медианного интервала;

Σf/2 - полусумма частот ряда;

Σfmе-1 - сумма накопительных частот, предшествующих медианному

интервалу;

fmе - частота медианного интервала.

Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части. Различают нижний квартиль Q1, медиану Ме и верхний квартиль Q3.

где xmin - минимальные границы квартильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

ΣfQf-1; ΣfQ3-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих

квартильным;

fQ1; fQ3 - частоты квартильных интервалов

Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:

где xmin - минимальные границы децильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

ΣfОf-1; ΣfО2-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих

децильным;

fD1; fD3 - частоты децильных интервалов

3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии. Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило сложения дисперсий

Способность признака принимать различные значения называют вариацией признака. Для измерения вариации признака используют различные обобщающие показатели – абсолютные и относительные.

Размах вариации – это разность максимального и минимального значений признака: R = хmax - хmin.
Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений отклонений признака от своей средней:

Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е. дисперсия:

Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней

или - простая

- взвешенная

Дисперсия может быть определена методом условных моментов. Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака от какой-либо величины А: если А = 0, то момент называется начальным; если А = , то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.

В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)^к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем:

Выбор условного нуля С;
Преобразование фактических значений признака х в упрощенные х´ путем отсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз:
Расчет 1-го условного момента:
Расчет 2-го условного момента:
Расчет 1-го порядка начального момента:

Дисперсии

Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии  = ²

Относительные величины вариации

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней
Относительное линейное отклонение:
Коэффициент вариации:
Коэффициент асимметрии:

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Общая дисперсия:

где - общая средняя всей совокупности

Межгрупповая дисперсия:

где - средняя по отдельным группам

Средняя внутри групповых дисперсий

Общая дисперсия равна сумме из межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Дисперсия альтернативного признака.

Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц, не обладающих им

Тема 4. Ряды динамики

4.1. Понятие о рядах динамики, виды рядов динамики

Ряды динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Ряды динамики бывают:

В зависимости от времени – моментные и интервальные ряды.
От формы представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин.
От расстояния между датами – полные и неполные хронологические ряды.
От числа показателей – изолированные и комплексные ряды.

4.2.Производные показатели рядов динамики

Показатели	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост	уi – у0	уi – уi-1
Коэффициент роста (Кр)	уi : у0	уi : уi-1
Темп роста (Тр)	(уi : у0) · 100	(уi : уi-1) · 100
Коэффициент прироста (Кпр)	Кр – 1; уi – у0 у0 Δбаз : у0	Кр – 1; уi – уi-1 уi-1 Δцеп : уi-1
4.3. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста
Темп прироста (Тпр)	Кпр · 100 : Тр - 100	Кпр · 100 : Тр - 100
Абсолютное значение 1-го процентного прироста (1%А)	у0 : 100	уi-1 : 100; Δ : Тпр уi - уi-1 Тр - 100

Соотношения: у2/у1 · у3/у2 · у4/у3 · у5/у4 = у5/у1 у4/у1 : у3/у1 = у4/у3

4.4. Средние показатели ряда динамики

Если ряд динамики интервальный и содержит все последовательные уровни, то средний уровень определяется как средняя арифметическая величина: Если ряд динамики моментный с одинаковыми промежутками времени между датами, то средняя хронологическая определяется как простая арифметическая:

А если с разновеликими интервалами между датами, то как средняя арифметическая взвешенная по времени: где t - время, в течение которого уровень не менялся Средний абсолютный прирост: Средний темп роста:

Средний темп прироста:

4.5. Измерение сезонности явлений.

Индексы сезонности. Построение сезонной волны

Метод простых средних:

а) определяется средняя хронологическая для каждого месяца б) средняя хронологическая общая: Индекс сезонности:

Метод сравнения фактического и сглаженного уровней а) метод скользящего среднего уровня:

б) метод аналитического выравнивания:

Колеблемость уровня ряда измеряется средним отклонением индекса сезонности iсез от 100%: Среднее квадратичное отклонение

4.6. Выравнивание рядов динамики

Выравнивание рядов динамики производят одним из способов:

а) Механическое выравнивание состоит в укрупнении интервала времени и расчете средней хронологической

б) Аналитическое выравнивание – это описание тенденций с помощью подбора адекватной модели, представляющей математическую функцию зависимости среднего уровня от времени: По уравнению прямой:

где a0 и а1 - это параметры уравнения, которые рассчитываются на

основе фактических данных методом наименьших квадратов

- это условное время принятое от какой-то базы.

Выравнивание может выполняться по параболе 2-го порядка: а0, а1, а2 -параметры, определяемые с помощью системы уравнений:

если Σt = 0, то Σt³ = 0

Если применяется показательная функция, то уравнения взаимосвязи следующая: , для решения такой модели переходят к логарифмам:

Это уравнения прямой для логарифмов уравнений, поэтому выравнивание осуществляется аналогично прямой, но предварительно определяются логарифмы

При выборе модели можно руководствоваться правилами

, если абсолютные приросты колеблются около постоянной величины, то можно использовать модель прямой линии

Δy = уi - уi-1; а0 - база; а1t - прирост.

, если приросты приростов, т.е. ускорение колеблется около постоянной величины, то можно использовать параболу 2-го порядка: а0 - база; а1t - прирост; а2t² - ускорение (Δу2 – Δу1)
- ср. коэффициент роста, если ежегодные темпы роста примерно постоянны, то можно использовать модель показательной функции.