Рефераты по теме Математика

Реферат Задачи Пятого Турнира Юных Математиков скачать бесплатно

Скачать реферат бесплатно ↓ [351.97 KB]



Текст реферата Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

УЗШ «Эрудит»







Реферат
по теме

«Задачи Пятого Турнира Юных Математиков»









ученика 10го класса
Гончаренко Никиты
Предисловие
          Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.

«Геометрические миниатюры»
Условие: Зафиксируем на плоскости SL, SM, SK площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что
Решение
Решение задачи разобъем на четыре этапа:

1.     Докажем, что
2.     Докажем, что
3.     Докажем, что

4.     Из этапов (2) и (3) ясно, что

Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС. Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
          Составим и решим систему.
 


   a = y + z
   b = x + y 
   c = x + z
  






Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей SPSQ = SАВС – (SAPQ + SCQS + SBPS).

Аналогично,
  и  
Тогда из SPSQ = SАВС – (SAPQ + SCQS + SBPS) Þ

Подставим значения

Раскрыв скобки, выражение можно записать как

Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши:
Подставим неравенства в числители дробей


Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - Sk) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС:
 Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади